Resonanz, Obertöne und ganze Zahlen
Resonanz Das Phänomen der Resonanz ist ein Phänomen der physikalischen Welt, das dann eintritt, wenn zwei getrennte physikalische Objekte ihre Eigenschwingungen austauschen. Bei zwei Saiten im Oktavabstand lässt sich das einfach zeigen, aber auch der Abstand einer Quinte führt zu einer Resonanz. Resonanzen treten nämlich nicht nur dann auf, wenn Objekte mit der gleichen Frequenz schwingen. Physikalisch gesehen ist immer dann eine Resonanz möglich, wenn die beiden Schwingungsfrequenzen gemeinsame Obertöne haben. Weil die Frequenzen der Obertöne stets ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind, bedeutet das, dass die gemeinsamen Obertöne eine Frequenz haben, die das ganzzahlige Vielfache der beiden Grundfrequenzen ist, oder mathematisch ausgedrückt: n f1 = m
Kriterien für attraktive Tonleitern (Übersicht)
Herleitung der Tonleitern aus der Physik Tonleitern in drei Welten Nach der 3-Welten-Theorie spielt die Mathematik (die ideale Welt) bei allen physikalischen Prozessen (physikalische Welt) eine Rolle. Aber ohne unser subjektives Empfinden (mentale Welt) würden wir aber von all dem nichts mitbekommen. Ein ideales Feld, um das Zusammenspielen der drei Welten zu untersuchen, sind die Tonleitern. Hier stehen wir vor dem Rätsel, weshalb die menschlichen Kulturen tausende von verschiedenen Tonleitern hervorgebracht haben, aber jede Tonleiter immer genau über eine Oktave läuft - als hätten alle menschlichen Kulturen dies vorgängig so abgesprochen. Diese Konstanz der Oktave kann einfach durch Resonanz erklärt werden, die im
Brüche und Resonanzen
Resonanz funktioniert über gemeinsame Obertöne Resonanz besteht, wenn zwei schwingungsfähige physikalische Träger gemeinsam schwingen. Dabei kommt es auf die Eigenfrequenz der beiden Träger an: Resonanz 1. Grades: Beide Träger schwingen in der gleichen Frequenz (f2 = f1) Resonanz 2. Grades: Ein Träger schwingt in einer Obertonfrequenz des anderen (f2 = n * f1) Resonanz 3. Grades: Beide Träger schwingen in einer gemeinsamen Obertonfrequenz (f2 = n/m * f1) Die Resonanz 3. Grades zeigt sich dadurch, dass das Verhältnis der beiden Frequenzen einem Bruch mit ganzen Zahlen (n/m) entspricht. Diese Resonanz 3. Grades ist die, die uns interessiert, denn sie
Begriffserklärungen zur Sinusschwingung
Für unsere Resonanzüberlegungen spielen Sinusschwingungen eine entscheidende Rolle. Ich möchte auf dieser Seite die Begriffe, die ich dabei verwende, erklären. Schwingung Eine Schwingung ist eine Bewegung in der Zeit, die um eine Nulllinie herum pendelt. Die Schwingung kann verschiedene Formen haben. Für unsere Resonanzüberlegungen gehen wir von reinen Sinusschwingungen aus, eine solche Schwingung zeigt die Abbildung. Amplitude Die Amplitude ist die Abweichung der Schwingung von der Nulllinie. Für unsere Überlegungen spielt sie primär keine Rolle. Periode Eine Periode dauert so lange, bis die Schwingung wieder am gleichen Ort ist und sich daraufhin genau gleich wiederholt. Je nach Form der Schwingung
Wie Tonleitern entstehen
Die Drei-Welten-Theorie nach Sir Roger Penrose verbindet die ideale (mathematische) mit der physikalischen (materiellen) und der mentalen (subjektiven) Welt. Jede der drei Welten ist sehr verschieden von den anderen, doch wir leben gleichzeitig in allen dreien, die drei Welten bilden eine einzige, nämlich unsere Realität. Um das Zusammenspielen der drei Welten verständlich zu machen, schaue ich mir im Moment das Entstehen der Tonleitern an. Es gibt bekanntlich Tausende davon und offensichtlich spielt die Mathematik bei den Tonleitern eine Rolle, aber auch die physikalischen Verhältnisse und die Eigenheiten unserer subjektiven Wahrnehmung tragen das Ihrige bei. Tonleitern eignen sich deshalb gut zur
Das «Herunterbrechen» der Quinte
Was haben die Obertöne mit den Tonleitern zu tun? Die Serie der Obertöne ist zwar selber keine Tonleiter, doch die Obertöne entscheiden trotzdem über die Tonleitertöne. Schauen wir als erstes die Quinte an. Wie die Oktave kommt die Quinte in praktisch allen Tonleitern auf der Welt vor. Das ist bemerkenswert, denn die Quinte selber ist kein Oberton. Das Vorkommen der Quinte Die Quinte kommt in fast allen Tonleitern der menschlichen Kulturen vor. Tonleitern ohne die Quinte existieren, doch diese Tonleitern erscheinen mir einerseits künstlich und bewusst konstruierte wie die Ganztonleiter zu sein, oder dann eher ungebräuchliche, wie das Lokrische.
Reale Constraints für Tonleitern
Gibt es Sachzwänge (constraints), welche die Wahl der Töne in einer Tonleiter einschränken? Genau solche Einschränkungen gibt es. Sie lassen sich nicht nur beobachten, sondern auch gut begründen. Die Einschränkungen kommen nicht aus einer abstrakten Theorie, sondern aus der Realität der musikalischen Praxis, d.h. aus der physikalischen Welt der Schallwellen und klangerzeugenden Objekte, sowie aus der mentalen Welt unserer Empfindungen. Funktioniert das Zusammentreffen der drei Welten nur für die Oktave? Die Oktave zeigt, wie mit der mathematisch organisierten Obertonreihe die Mathematik, also die ideale (Penrose: platonische) Welt in die physikalische Welt eintritt und wie dieses Zusammentreffen von Mathematik (ganze Zahlen) und Physik
Die Wahrnehmung der Oktave mental
Dies ist ein Beitrag zur Entstehung der Tonleitern und setzt den Beitrag zur Resonanz der Oktave fort. Die subjektive Seite Die mathematische oder nach Penrose platonische Welt mit ihren einfachen Zahlenverhältnissen und die physikalische Welt mit ihren Resonanzphänomenen bringt uns die Oktave näher, erklärt aber noch nicht, weshalb dieses Intervall in allen Kulturen die Basis von allen Tonleitern ist. Dazu müssen wir auch die mentale Welt betrachten, das heisst die Welt unserer subjektiven Wahrnehmung. Diese ist zwar allen zugänglich, doch es bleibt ihre eigene und subjektive Wahrnehmung. Ich kann nicht in Ihren Kopf sehen. Zwar können bildgebende Verfahren (MRI, PET) objektiv feststellen, welche Hirnareale
Resonanz als Schlüssel für Tonleitern
Dies ist ein Beitrag zur Entstehung der Tonleitern und setzt den Beitrag zur Oktave fort. Es geht hier darum, wie eine Resonanz erzeugt wird. Wir erzeugen eine Resonanz Falls Resonanz für Sie ein abstraktes - oder noch kein erlebtes musikalisches - Phänomen ist, empfehle ich Ihnen folgendes einfaches Experiment: Suchen sie ein Klavier (kein digitales) und auf dem Klavier einen Ton, den Sie gut singen können. Drücken Sie die Taste mit diesem Ton und singen Sie ihn. Das setzt natürlich schon die Resonanz in ihrem Innenohr voraus, sonst würden Sie den Ton nicht treffen. Als nächstes drücken Sie die Klaviertaste, aber
Die Oktave
Eine bemerkenswerte Gemeinsamkeit Alle Tonleitern, die ich kenne, bewegen sich im Bereich einer Oktave. Auch Tonleitern, die für uns Europäer ungewöhnlich klingen, arabische, indische, japanische und afrikanische bewegen sich innerhalb genau einer Oktave, d.h. ihr tiefster und ihr höchster Ton haben den Abstand von genau einer Oktave, was für eine Tonart das auch ist. Ich finde das äusserst bemerkenswert. Das ist so, als ob alle Sprachen der Welt, die ja sehr unterschiedliche Wörter haben, für einen bestimmten Begriff das gleiche Wort verwenden würden, und zwar schon immer und ganz unabhängig voneinander. Woher kommt das? Die Drei-Welten-Theorie kann nun diese ungewöhnliche
