Sind unsere Tonleitern erklärbar?
Serie zur Entstehung der Tonleitern Obwohl es Tausende von verschiedenen Tonleitern gibt, haben alle gewisse Gemeinsamkeiten. Woher kommen diese Gemeinsamkeiten und wie sind die Tonleitern überhaupt entstanden? Im Jahr 2020 habe ich eine kleine Blogserie zu diesem Thema geschrieben: Resonanzen erklären unsere Tonleitern Keine Tonleiter ohne Oktave - weshalb? Die Resonanz hat eine Schlüsselrolle. Die Wahrnehmung der Oktave in der mentalen Welt. Nicht nur Mathematik: Reale Constraints für Tonleitern Wegen Constraints: Die Obertonreihe ist keine Tonleiter Das "Herunterbrechen" der Quinte Einfache Brüche definieren unsere häufigsten Intervalle Übersicht über die Kriterien für attraktive Tonleitern Damit kristallisieren sich zwei global bekannte Tonleitern
Resonanzen erklären unsere Tonleitern
Haben Sie sich schon gefragt, weshalb die Tonleitern in allen Musikkulturen, ob im Urwald, im Konzertsaal oder im Fussballstadion über genau eine Oktave gehen. Oder weshalb Kinder ohne Musikbildung den Dur-Dreiklang ganz spontan "schön" finden, überall auf der Welt? Die Erklärung liegt in den Resonanzen. So sehr sich Musikkulturen unterscheiden, haben sie doch einen gemeinsamen Kern. Dieser besteht aus den Resonanzen, welche zwischen den Tönen der Tonleitern und Akkorden entstehen. Resonanz zwischen zwei schwingenden Saiten Mathematik und Physik in der Musik Die klassische Musiktheorie weiss zwar, dass mathematische Brüche in den Intervallen stecken, doch sie erklärt
Resonanz und Tonleitern
Im Gespräch mit informierten Musikern höre ich oft, dass die Musiktheorie Tonleitern bereits perfekt erklärt, und zwar über die Obertonreihe. Diese jahrhundertealte Vorstellung ist nicht ganz falsch, aber auch nicht ganz richtig. Nun ist die Obertonreihe selber zwar keine Tonleiter, doch Theoretiker fanden Berechnungen, um aus der Obertonreihe unsere Tonleitern mathematisch abzuleiten. Ich empfinde diese Berechnungen als zu kompliziert. Die Tonleitern lassen sich erstaunlicherweise noch einfacher erklären. Die bekannten Brüche (z.B. 5/4 für die grosse Terz) lassen sich dabei auf ein natürliches Phänomen zurückführen, das genau zu diesen Brüchen führen muss. Zudem kann gezeigt werden, weshalb die einzelnen Töne in
Mathematik und Physik
"A mathematician may say anything he pleases, but a physicist must be at least partially sane" (Josiah Williard Gibbs) "Ein Mathematiker kann sich irgendetwas ausdenken und es innerhalb der Mathematik beweisen. Ob es in der Realität funktioniert, zeigt die Realität." (hrs) Ich mag Mathematik Ich mag Mathematik. Darin unterscheide ich mich von den meisten meiner Freunde; die meisten wollen möglichst nichts mit Mathematik zu tun haben. Das hat nichts mit der Intelligenz meiner Freunde zu tun - vielmehr bestreiten sie, dass Mathematik für sie persönlich hilfreich sein könnte. Das ist das eine Lager, quasi das Hauptlager der Menschheit. Im Gegenlager
Wie unsere Tonleitern entstanden sind
Tonleitern Als Amateurpianist interessiert mich das Thema Tonleitern seit langem: Es gibt eine Vielfalt von Tausenden von unterschiedlichen Tonleitern Alle diese Tonleitern gehen über genau eine Oktave - weshalb? Was haben die verschiedenen Tonleitern sonst noch gemeinsam? Und weshalb? Und worin unterscheiden sie sich? Gibt es eine Logik darin? Als Informatiker interessiert mich die Struktur innerhalb der Tonleitern. Die Mathematik hinter den Tonleitertönen besteht offensichtlich aus einfachen Brüchen: Lässt sich diese einfache Mathematik aus der Physik herleiten? Wenn ja, wie? Lassen sich auch unsere subjektiven Empfindungen mit dieser einfachen Mathematik vereinbaren? Wenn ja, wie? Das Erstaunliche ist: Diese scheinbar rhetorischen
Mentale Welt
Was ist die mentale Welt? Die mentale Welt ist die Welt in unserem Kopf. Es ist die Weise, wie wir die Welt wahrnehmen, sie umfasst unsere Empfindungen, Gefühle und Gedanken. Es ist eine ganz subjektive Welt. In der Drei-Welten-Theorie ist die mentale Welt die dritte neben der physikalischen und die platonischen. Unterschied zur physikalischen Welt Während die physikalische Welt objektiv fassbar ist, bleibt die mentale subjektiv. Mit anderen Worten: Während wir die Gegenstände der physikalischen Welt von aussen beobachten können, ist dies mit den Gegenständen der mentalen Welt nicht möglich. Beispiel Farbe Objektiv (physikalisch) sind die Farben messbar als Wellenlängen
Was ist Resonanz?
Die physikalische Basis der Resonanz Resonanz basiert auf den Eigenschwingungen von physikalischen Medien und ihrer gegenseitigen Koppelung. Koppelung der Eigenschwingungen von physikalischen Objekten Die Eigenschwingungen sind stehende Wellen, deren Frequenz von den Eigenschaften des physikalischen Mediums (Grösse, Form, Material, etc. ) bestimmt wird. Zwei solche Medien können über ihre Eigenschwingung in eine Resonanz treten. Die Resonanz entsteht durch eine Koppelung der beiden Eigenschwingungen, sodass die beiden physikalischen Medien in ihrem Schwingungsverhalten eine gekoppelte Einheit bilden. Die Koppelung erfolgt über einen physikalischen Energieaustausch, sei es direkt oder indirekt, z.B. über die Luft. Bedingung für das Entstehen der Koppelung ist, dass die
Was bringt die gleichstufige Temperierung?
Die temperierte Stimmung hat sich in der unserer abendländischen Musikkultur durchgesetzt - trotz des offensichtlichen Nachteils, dass ihre Intervalle nicht mehr rein sind. Das war nur möglich, weil gewichtige Vorteile den Makel der Unreinheit wettgemacht haben: 1. Eine einzige Stimmung reicht für alle Tonarten: der Grundton ist frei wählbar. Im Prinzip muss bei der reinen Stimmung für jede Tonart und jeden Grundton neu gestimmt werden. Bei einem Cembalo sind das einige Saiten und bei einer Orgel ist das wirklich eine grosse Aufgabe in Anbetracht der vielen Register und Pfeifen. Je weiter die Tonarten voneinander entfernt sind - d.h. je mehr
Weshalb Resonanz auch bei Unschärfe funktioniert
Wann entsteht Resonanz? Resonanz zwischen zwei physikalischen Medien hängt vom Frequenzverhältnis ihrer Eigenschwingungen ab. Wenn die beiden Frequenzen einen einfachen Bruch bilden, z.B. 2/1 oder 3/2, kann Resonanz entstehen. In einem früheren Beitrag habe ich dargestellt, wie die zehn einfachste Frequenzverhältnisse mathematisch zwingend genau zu den zehn Tönen führen, die in unseren Tonleitern vorkommen, seien es Dur, die verschiedene Molltonleitern, Kirchentonarten, Durpentatonik, Mollpentatonik, Bluestonleiter etc.. Reine und temperierte Stimmung Funktioniert die Resonanz aber auch in der gleichstufig temperierten Stimmung? Im Beitrag zur gleichstufigen Stimmung haben wir gesehen, wie sich die beiden Stimmungen unterscheiden. Abb. 1 zeigt die die reine Stimmung
Die gleichstufige Temperierung
Ausgangswunsch: Wechsel des Grundtons während eines Musikstücks Im Vorbeitrag haben wir gesehen, dass eine reine Stimmung beim Wechsel des Grundtons nicht mehr rein ist, da sich gewisse Intervalle verändern. Je entfernter die Tonart ist, umso mehr Töne stimmen nicht mehr mit den errechneten, d.h. resonanten Tonhöhen überein.. Wenn nun die die Frequenzen der Tonleitertöne ganz leicht verschoben - d.h. temperiert - werden, dann kann auch in benachbarte Tonarten gewechselt, d.h. moduliert werden. Bei der gleichstufig temperierten Stimmung sind sogar Wechsel zu jedem beliebigen Grundton möglich und diese Stimmung hat sich seit dem Barock in Europa erfolgreich durchgesetzt. Wie die gleichstufige
