Wie die temperierte Stimmung entstand
Tonleitern vor der Temperierung Die natürliche Entwicklung der Tonleitern Die Tonleitern der menschlichen Kulturen haben sich über die Jahrtausende auf natürliche Weise, d.h. ganz ohne bewusste mathematische Überlegungen entwickelt. Dass trotzdem sehr viel Mathematik dahinter steckt, hat mit den Resonanzen der Tonleitertöne zum Grundton zu tun. Diese Resonanzen sind für uns attraktiv und Musik, die auf solchen Resonanzen beruht, hat die Fähigkeit, menschliche Gemeinschaften zusammen zu bringen. Mathematisch kann die Resonanz auf Brüche mit möglichst kleinen ganzen Zahlen zurückgeführt werden und wir können rechnerisch ableiten, welche zehn Intervalle die deutlichsten Resonanzen aufweisen müssen. Nicht zufällig bestehen alle global verbreiteten Tonleitern -
Zwei schlechter resonante Intervalle für die Lücken
Ausgangslage: Zwei Lücken Im Vorbeitrag haben wir erkannt, dass in der Reihe der bisher gefundenen zehn Tonleitertönen zwei Lücken bestehen. Können wir dort auch resonante Töne finden? Folgendes wissen wir bereits: Wir kennen bereits die zehn "resonantesten" Intervalle in der Oktave. Mit diesen zehn Intervallen können die fünf Standard-Pentatoniken, und unser Dur und Moll gebildet werden. Dort stören die Lücken also nicht, nur in der Anordnung aller zehn potentiellen Tonleitertöne fallen sie auf. Intervalle kommen nicht allein, weder in einem Akkord, noch in einer Melodie. Wenn wir also ein resonantes Intervall haben, können wir darauf ein zweites ansetzen (addieren) und
Anordnung der Töne innerhalb der Oktave
Die zehn resonantesten Töne innerhalb der Oktave Wir untersuchen in dieser Textserie die Tonleitern unter dem Aspekt der drei Welten. Alle drei Welten sind mitbeteiligt, wie wir das z.B. gesehen haben bei der Beantwortung der Frage, weshalb die Tonleitern aller Musikkulturen immer genau eine Oktave abdecken. Nur mathematisch oder physikalisch lässt sich das nicht erklären. Unter Hinzunahme der dritten Welt, nämlich unserer mentalen Welt, wird die Bedeutung der Oktave einleuchtend. Auch die Auswahl der in der Tonleiter verwendeten Töne wird über das Phänomen der Resonanz von allen drei Welten bestimmt, wie wir in den Vorbeiträgen gesehen haben. Schauen wir jetzt an,
Reine und unreine Stimmung
Die zwei auseinanderstrebenden Ideale einer Theorie Einfach und umfassend Musiktheorie bewegt sich wie jede Theorie zwischen zwei Extremen. Einerseits erlaubt es eine Theorie, ganz verschiedene Beobachtungen zusammenzufassen und auf einfache Art zu erklären - je einfacher umso besser. Andererseits wollen wir die Erklärung aber auch anwenden, und zwar auf möglichst alles, was wir beobachten. Eine Theorie ist also dann gut, wenn sie möglichst einfach ist, andererseits aber auch möglichst alles erklärt. Diese beiden Extremziele jeder guten Theorie gleichzeitig zu erfüllen ist die Herausforderung. Schlüsselmomente der Theorieentwicklung Typisch ist der Moment, wo bei der Anwendung der Theorie plötzlich eine Beobachtung auftaucht,
Wie entsteht das pythagoreische Komma?
Das pythagoreische Komma Das pythagoreische Komma zeigt, dass unser Tonsystem nicht perfekt stimmt, sondern eine Lücke hat, deren Form und Ursache ich in diesem Beitrag beschreibe. Das Komma ist sowohl für unsere Musikpraxis relevant, auf die es ganz konkrete Auswirkungen hat, als auch erkenntnistheoretisch, da es typisch ist für die Probleme, die wir beim Zusammenspiel unserer drei Welten (nach Penrose) beobachten. Es ist in diesem Sinn nicht nur für Musiker ein relevantes Thema, sondern auch für Menschen, die sich fragen, wie Mathematik (ideale Welt), Physik (physikalische Welt) und unser Erleben (mentale Welt) zusammenhängen. Hier erkläre ich, wie es zu diesem
Resonante Tonleitern
Resonanzen spielen bei unseren Tonleitern eine entscheidende Rolle. Die Bedingungen für die Resonanzentstehung zwischen zwei Tönen sind in der Physik gut bekannt und zeigen einfache mathematische Verhältnisse. Die Frequenzen der beiden Töne stehen nämlich, wenn sich Resonanz entwickelt, in einem Verhältnis, das als Bruch zwischen zwei ganzen Zahlen gesehen werden kann. Das besondere dabei ist, dass die Resonanz umso stärker ist, je kleiner die beiden Zahlen sind, ideal sind 1, 2, 3, 4 und 5. So entsteht eine Resonanz am leichtesten beim gleichen Ton (1/1), bei der Oktave (2/1), der Quint (3/2) und der Quart (4/3). Auch die grosse (5/4)
Die Dur-Tonleiter bringt Spannung in die Resonanzen
Die Dur-Tonleiter Die Dur-Tonleiter (= ionische Tonleiter) ist in Europa und auch global mit Abstand die weitest verbreitete Tonleiter. Es handelt sich um eine Heptatonik, also um eine Tonleiter mit sieben Tönen. Sie zeichnet sich durch ganz besondere Resonanzverhältnisse aus, die ihre weltweite Wertschätzung gut erklären können. Unten habe ich die Töne der C-Dur Tonleiter aufgezeichnet, von unten nach oben aufsteigend und jeweils rechts von jedem Ton sein Intervall zum Grundton. Selbstverständlich ist dieses Intervall das, was die Tonleiter ausmacht. Man könnte die Tonleiter auch auf jedem anderen Ton beginnen und nur von den Intervallen (Sekunde, Terz usw.) sprechen, da
Ungeplanter Abstecher
Es kommt nicht immer wie geplant. Eigentlich wollte ich frei nach Roger Penrose über das Rätsel der drei scheinbar unvereinbaren Welten schreiben, ein Rätsel, das mich als Informatiker und Philosoph fasziniert. Ganz kurz plante ich dabei einen Abstecher in die Musiktheorie, um ein konkretes Beispiel für das Zusammenspiel der drei Welten zu bringen - doch so kurz wurde der Abstecher nicht! Das Thema Tonleitern hat mich richtig hinein gezogen. Ich spürte, dass man anhand der Resonanzen zwischen den Tonleiterintervalle das Zusammenspiel von Mathematik, Physik und subjektivem Empfinden auf einfache und plausible Weise erklären könnte. Was mich aber überrascht hat, ist das Potential dieser Erklärungsmöglichkeiten:
Standard-Pentatoniken
Fünf Standard-Pentatoniken Pentatoniken sind Tonleitern mit fünf Tönen. Sie sind einfacher als die Heptatoniken welche sieben Töne umfassen. Wie wir im Vorbeitrag gesehen haben, bilden die Töne C - D - E - G - A - C die Standard-Dur-Pentatonik. Insgesamt lassen sich mit den einfachen Kriterien für resonante Tonleitern noch vier weitere Pentatoniken bilden. Diese fünf Pentatoniken sind die fünf Tonleitern, welche nach unseren mathematischen Kriterien unter allen Tonleitern am leichtesten Resonanzen unter allen ihren Tönen erlauben. Wir werden später sehen, dass wir mit unserem Pool der neun am stärksten resonanten Töne alle traditionell in Europa gebräuchlichen Tonleitern bilden können. Bei den Heptatoniken, z.B unserem diatonischen
Rechnen mit Frequenzen und Intervallen
Auf dieser Seite erkläre ich einige Regeln, die gelten, wenn wir mit Intervallen und ihren Frequenzen rechnen. Intervalle sind Brüche Ein Intervall geht von einem tieferen zu einem höheren Ton. Der Bruch des Intervalls rechnet sich, indem die Frequenz des höheren durch die Frequenz des tieferen Tons geteilt wird, z.B. E = 330 Hz A = 440 Hz 440/330 = 4/3. Das ist eine Quart. Das Intervall der Quart ist immer 4/3, der höhere Ton ist in der Quart genau 4/3 mal so schnell wie der tiefere. Dabei kommt es nur auf die relativen Werte an, nicht auf die absoluten.
