Standard-Pentatoniken
Fünf Standard-Pentatoniken Pentatoniken sind Tonleitern mit fünf Tönen. Sie sind einfacher als die Heptatoniken welche sieben Töne umfassen. Wie wir im Vorbeitrag gesehen haben, bilden die Töne C - D - E - G - A - C die Standard-Dur-Pentatonik. Insgesamt lassen sich mit den einfachen Kriterien für resonante Tonleitern noch vier weitere Pentatoniken bilden. Diese fünf Pentatoniken sind die fünf Tonleitern, welche nach unseren mathematischen Kriterien unter allen Tonleitern am leichtesten Resonanzen unter allen ihren Tönen erlauben. Wir werden später sehen, dass wir mit unserem Pool der neun am stärksten resonanten Töne alle traditionell in Europa gebräuchlichen Tonleitern bilden können. Bei den Heptatoniken, z.B unserem diatonischen
Erste Tonleitern
Können wir mit den bisher postulierten Kriterien bereits Tonleitern konstruieren, die so attraktiv sind, dass sie real vorkommen? Die Kriterien sehen ja auf den ersten Blick eher künstlich und theoretisch aus - können Sie trotzdem dazu dienen, natürlich gewachsene Tonleitern zu erklären? In der Tat können sie das. Die mathematischen Kriterien für Resonanz haben offensichtlich in den Ohren der Menschen gewirkt und sie über die Jahrtausende immer wieder Musik erfinden lassen, die als Basisgerüst genau die Tonleitern haben, die wir gleich mit unseren Kriterien mathematisch ableiten können. Pool von resonanten Tönen Nur mit unseren Resonanzkriterien haben wir einen ersten Pool konstruiert, der diejenigen
Rechnen mit Frequenzen und Intervallen
Auf dieser Seite erkläre ich einige Regeln, die gelten, wenn wir mit Intervallen und ihren Frequenzen rechnen. Intervalle sind Brüche Ein Intervall geht von einem tieferen zu einem höheren Ton. Der Bruch des Intervalls rechnet sich, indem die Frequenz des höheren durch die Frequenz des tieferen Tons geteilt wird, z.B. E = 330 Hz A = 440 Hz 440/330 = 4/3. Das ist eine Quart. Das Intervall der Quart ist immer 4/3, der höhere Ton ist in der Quart genau 4/3 mal so schnell wie der tiefere. Dabei kommt es nur auf die relativen Werte an, nicht auf die absoluten.
Resonanz, Obertöne und ganze Zahlen
Resonanz Das Phänomen der Resonanz ist ein Phänomen der physikalischen Welt, das dann eintritt, wenn zwei getrennte physikalische Objekte ihre Eigenschwingungen austauschen. Bei zwei Saiten im Oktavabstand lässt sich das einfach zeigen, aber auch der Abstand einer Quinte führt zu einer Resonanz. Resonanzen treten nämlich nicht nur dann auf, wenn Objekte mit der gleichen Frequenz schwingen. Physikalisch gesehen ist immer dann eine Resonanz möglich, wenn die beiden Schwingungsfrequenzen gemeinsame Obertöne haben. Weil die Frequenzen der Obertöne stets ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind, bedeutet das, dass die gemeinsamen Obertöne eine Frequenz haben, die das ganzzahlige Vielfache der beiden Grundfrequenzen ist, oder mathematisch ausgedrückt: n f1 = m
Kriterien für attraktive Tonleitern (Übersicht)
Herleitung der Tonleitern aus der Physik Tonleitern in drei Welten Nach der 3-Welten-Theorie spielt die Mathematik (die ideale Welt) bei allen physikalischen Prozessen (physikalische Welt) eine Rolle. Aber ohne unser subjektives Empfinden (mentale Welt) würden wir aber von all dem nichts mitbekommen. Ein ideales Feld, um das Zusammenspielen der drei Welten zu untersuchen, sind die Tonleitern. Hier stehen wir vor dem Rätsel, weshalb die menschlichen Kulturen tausende von verschiedenen Tonleitern hervorgebracht haben, aber jede Tonleiter immer genau über eine Oktave läuft - als hätten alle menschlichen Kulturen dies vorgängig so abgesprochen. Diese Konstanz der Oktave kann einfach durch Resonanz erklärt werden, die im
Brüche und Resonanzen
Resonanz funktioniert über gemeinsame Obertöne Resonanz besteht, wenn zwei schwingungsfähige physikalische Träger gemeinsam schwingen. Dabei kommt es auf die Eigenfrequenz der beiden Träger an: Resonanz 1. Grades: Beide Träger schwingen in der gleichen Frequenz (f2 = f1) Resonanz 2. Grades: Ein Träger schwingt in einer Obertonfrequenz des anderen (f2 = n * f1) Resonanz 3. Grades: Beide Träger schwingen in einer gemeinsamen Obertonfrequenz (f2 = n/m * f1) Die Resonanz 3. Grades zeigt sich dadurch, dass das Verhältnis der beiden Frequenzen einem Bruch mit ganzen Zahlen (n/m) entspricht. Diese Resonanz 3. Grades ist die, die uns interessiert, denn sie
Begriffserklärungen zur Sinusschwingung
Für unsere Resonanzüberlegungen spielen Sinusschwingungen eine entscheidende Rolle. Ich möchte auf dieser Seite die Begriffe, die ich dabei verwende, erklären. Schwingung Eine Schwingung ist eine Bewegung in der Zeit, die um eine Nulllinie herum pendelt. Die Schwingung kann verschiedene Formen haben. Für unsere Resonanzüberlegungen gehen wir von reinen Sinusschwingungen aus, eine solche Schwingung zeigt die Abbildung. Amplitude Die Amplitude ist die Abweichung der Schwingung von der Nulllinie. Für unsere Überlegungen spielt sie primär keine Rolle. Periode Eine Periode dauert so lange, bis die Schwingung wieder am gleichen Ort ist und sich daraufhin genau gleich wiederholt. Je nach Form der Schwingung
Wie Tonleitern entstehen
Die Drei-Welten-Theorie nach Sir Roger Penrose verbindet die ideale (mathematische) mit der physikalischen (materiellen) und der mentalen (subjektiven) Welt. Jede der drei Welten ist sehr verschieden von den anderen, doch wir leben gleichzeitig in allen dreien, die drei Welten bilden eine einzige, nämlich unsere Realität. Um das Zusammenspielen der drei Welten verständlich zu machen, schaue ich mir im Moment das Entstehen der Tonleitern an. Es gibt bekanntlich Tausende davon und offensichtlich spielt die Mathematik bei den Tonleitern eine Rolle, aber auch die physikalischen Verhältnisse und die Eigenheiten unserer subjektiven Wahrnehmung tragen das Ihrige bei. Tonleitern eignen sich deshalb gut zur
Das «Herunterbrechen» der Quinte
Was haben die Obertöne mit den Tonleitern zu tun? Die Serie der Obertöne ist zwar selber keine Tonleiter, doch die Obertöne entscheiden trotzdem über die Tonleitertöne. Schauen wir als erstes die Quinte an. Wie die Oktave kommt die Quinte in praktisch allen Tonleitern auf der Welt vor. Das ist bemerkenswert, denn die Quinte selber ist kein Oberton. Das Vorkommen der Quinte Die Quinte kommt in fast allen Tonleitern der menschlichen Kulturen vor. Tonleitern ohne die Quinte existieren, doch diese Tonleitern erscheinen mir einerseits künstlich und bewusst konstruierte wie die Ganztonleiter zu sein, oder dann eher ungebräuchliche, wie das Lokrische.
Die Obertonreihe ist keine Tonleiter
Die Reihe der Obertöne Die Oktave und die folgenden Obertöne Die Oktave ist bekanntlich der erste Oberton. Das physikalische Phänomen der Resonanz hat uns geholfen, die Rolle der Obertöne besser zu verstehen: In der physikalischen Welt können schwingende Medien wie eine Saite oder ein Rohr mit ihrer Grundfrequenz, aber zusätzlich auch mit einem ganzzahligen Vielfachen dieser Frequenz schwingen. Dabei entsteht die Oktave durch das erste ganzzahlige Vielfache - nämlich die Verdoppelung - der Grundfrequenz. Die weiteren Obertöne sind ebenfalls ganzzahlige Vervielfachungen der Grundfrequenz. Es wäre nun einfach, anzunehmen, dass diese weiteren Töne eine Tonleitern bilden. Abb. 1: Grundton und
