Wie entsteht das pythagoreische Komma?
Das pythagoreische Komma Das pythagoreische Komma zeigt, dass unser Tonsystem nicht perfekt stimmt, sondern eine Lücke hat, deren Form und Ursache ich in diesem Beitrag beschreibe. Das Komma ist sowohl für unsere Musikpraxis relevant, auf die es ganz konkrete Auswirkungen hat, als auch erkenntnistheoretisch, da es typisch ist für die Probleme, die wir beim Zusammenspiel unserer drei Welten (nach Penrose) beobachten. Es ist in diesem Sinn nicht nur für Musiker ein relevantes Thema, sondern auch für philosophisch interessierte Menschen, die sich fragen, wie Mathematik (ideale Welt), Physik (physikalische Welt) und unser Erleben (mentale Welt) zusammenhängen. Als erstes erkläre ich hier,
Resonante Tonleitern
Resonanzen spielen bei unseren Tonleitern eine entscheidende Rolle. Die Bedingungen für die Resonanzentstehung zwischen zwei Tönen sind in der Physik gut bekannt und zeigen einfache mathematische Verhältnisse. Die Frequenzen der beiden Töne stehen nämlich, wenn sich Resonanz entwickelt, in einem Verhältnis, das als Bruch zwischen zwei ganzen Zahlen gesehen werden kann. Das besondere dabei ist, dass die Resonanz umso stärker ist, je kleiner die beiden Zahlen sind, ideal sind 1, 2, 3, 4 und 5. So entsteht eine Resonanz am leichtesten beim gleichen Ton (1/1), bei der Oktave (2/1), der Quint (3/2) und der Quart (4/3). Auch die grosse (5/4)
Die Dur-Tonleiter bringt Spannung in die Resonanzen
Die Dur-Tonleiter Die Dur-Tonleiter (ionisch) ist in Europa und auch global mit Abstand die weitest verbreitete Tonleiter. Es handelt sich um eine Heptatonik, also um eine Tonleiter mit sieben Tönen. Sie zeichnet sich durch ganz besondere Resonanzverhältnisse aus, die ihre weltweite Wertschätzung gut erklären können. Unten habe ich die Töne der C-Dur Tonleiter aufgezeichnet, von unten nach oben aufsteigend und jeweils rechts von jedem Ton sein Intervall zum Grundton. Selbstverständlich ist dieses Intervall das, was die Tonleiter ausmacht. Man könnte die Tonleiter auch auf jedem anderen Ton beginnen und nur von den Intervallen (Sekunde, Terz usw.) sprechen, da es zur
Ungeplanter Abstecher
Es kommt nicht immer wie geplant. Eigentlich wollte ich frei nach Roger Penrose über das Rätsel der drei scheinbar unvereinbaren Welten schreiben, ein Rätsel, das mich als Informatiker und Philosoph fasziniert. Ganz kurz plante ich dabei einen Abstecher in die Musiktheorie, um ein konkretes Beispiel für das Zusammenspiel der drei Welten zu bringen - doch so kurz wurde der Abstecher nicht! Das Thema Tonleitern hat mich richtig hinein gezogen. Ich spürte, dass man anhand der Resonanzen zwischen den Tonleiterintervalle das Zusammenspiel von Mathematik, Physik und subjektivem Empfinden auf einfache und plausible Weise erklären könnte. Was mich aber überrascht hat, ist das Potential dieser Erklärungsmöglichkeiten:
Standard-Pentatoniken
Wie wir im Vorbeitrag gesehen haben, bilden die Töne C - D - E - G - A - C die Standard-Dur-Pentatonik. Insgesamt lassen sich mit den einfachen Kriterien für resonante Tonleitern noch vier weitere Pentatoniken bilden. Diese fünf Pentatoniken sind die fünf Tonleitern, welche nach unseren mathematischen Kriterien unter allen Tonleitern am leichtesten Resonanzen unter allen ihren Tönen erlauben. Wir werden später sehen, dass wir mit unserem Pool der neun am stärksten resonanten Töne alle traditionell in Europa gebräuchlichen Tonleitern bilden können. Bei den Heptatoniken, z.B unserem diatonischen Dur, sind jedoch gewisse Töne miteinander schlecht resonant, was musikalisch eigentlich interessanter ist, da dadurch eine natürliche Struktur innerhalb
Erste Tonleitern
Können wir mit den bisher postulierten Kriterien bereits Tonleitern konstruieren, die so attraktiv sind, dass sie real vorkommen? Die Kriterien sehen ja auf den ersten Blick eher künstlich und theoretisch aus - können Sie trotzdem dazu dienen, natürlich gewachsene Tonleitern zu erklären? In der Tat können sie das. Die mathematischen Kriterien für Resonanz haben offensichtlich in den Ohren der Menschen gewirkt und sie über die Jahrtausende immer wieder Musik erfinden lassen, die als Basisgerüst genau die Tonleitern haben, die wir gleich mit unseren Kriterien mathematisch ableiten können. Pool von resonanten Tönen Nur mit unseren Resonanzkriterien haben wir einen ersten Pool konstruiert, der diejenigen
Rechnen mit Frequenzen und Intervallen
Auf dieser Seite erkläre ich einige Regeln, die gelten, wenn wir mit Intervallen und ihren Frequenzen rechnen. Intervalle sind Brüche Ein Intervall geht von einem tieferen zu einem höheren Ton. Der Bruch des Intervalls rechnet sich, indem die Frequenz des höheren durch die Frequenz des tieferen Tons geteilt wird, z.B. E = 330 Hz A = 440 Hz 440/330 = 4/3. Das ist eine Quart. Das Intervall der Quart ist immer 4/3, der höhere Ton ist in der Quart genau 4/3 mal so schnell wie der tiefere. Dabei kommt es nur auf die relativen Werte an, nicht auf die absoluten.
Resonanz, Obertöne und ganze Zahlen
Resonanz Das Phänomen der Resonanz ist ein Phänomen der physikalischen Welt, das dann eintritt, wenn zwei getrennte physikalische Objekte ihre Eigenschwingungen austauschen. Bei zwei Saiten im Oktavabstand lässt sich das einfach zeigen, aber auch der Abstand einer Quinte führt zu einer Resonanz. Resonanzen treten nämlich nicht nur dann auf, wenn Objekte mit der gleichen Frequenz schwingen. Physikalisch gesehen ist immer dann eine Resonanz möglich, wenn die beiden Schwingungsfrequenzen gemeinsame Obertöne haben. Weil die Frequenzen der Obertöne stets ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind, bedeutet das, dass die gemeinsamen Obertöne eine Frequenz haben, die das ganzzahlige Vielfache der beiden Grundfrequenzen ist, oder mathematisch ausgedrückt: n f1 = m
Kriterien für attraktive Tonleitern (Übersicht)
Worum geht es? Nach der 3-Welten-Theorie spielt die Mathematik (ideale Welt) bei physikalischen Prozessen (physikalische Welt) eine Rolle. Ohne unser subjektives Empfinden (mentale Welt) würden wir aber von all dem nichts mitbekommen. Wie diese drei sehr unterschiedlichen Welten in der Realität zusammenkommen, untersuche ich am Beispiel der Tonleitern. Hier gibt es einige Rätsel, z.B. weshalb die menschlichen Kulturen tausende von verschiedenen Tonleitern hervorgebracht haben, aber jede davon die Oktave verwendet. Diese Konstanz der Oktave kann einfach durch Resonanz erklärt werden, die im Fall der Oktave besonders auffällig ist, weil sie einem mathematischen Verhältnis 2:1 entspricht. Der höhere Ton der Oktave schwingt mit doppelter Frequenz im
Brüche und Resonanzen
Resonanz funktioniert über gemeinsame Obertöne Resonanz besteht, wenn zwei schwingungsfähige physikalische Träger gemeinsam schwingen. Dabei kommt es auf die Eigenfrequenz der beiden Träger an: Resonanz 1. Grades: Beide Träger schwingen in der gleichen Frequenz (f2 = f1) Resonanz 2. Grades: Ein Träger schwingt in einer Obertonfrequenz des anderen (f2 = n * f1) Resonanz 3. Grades: Beide Träger schwingen in einer gemeinsamen Obertonfrequenz (f2 = n/m * f1) Die Resonanz 3. Grades zeigt sich dadurch, dass das Verhältnis der beiden Frequenzen einem Bruch mit ganzen Zahlen (n/m) entspricht. Diese Resonanz 3. Grades ist die, die uns interessiert, denn sie ist
