Brüche und Resonanzen

Resonanz funktioniert über gemeinsame Obertöne

Resonanz besteht, wenn zwei schwingungsfähige physikalische Träger gemeinsam schwingen. Dabei kommt es auf die Eigenfrequenz der beiden Träger an:

• Resonanz 1. Grades: Beide Träger schwingen in der gleichen Frequenz (f2 = f1)
• Resonanz 2. Grades: Ein Träger schwingt in einer Obertonfrequenz des anderen (f2 = n * f1)
• Resonanz 3. Grades: Beide Träger schwingen in einer gemeinsamen Obertonfrequenz (f2 = n/m * f1)

Die Resonanz 3. Grades zeigt sich dadurch, dass das Verhältnis der beiden Frequenzen einem Bruch mit ganzen Zahlen (n/m) entspricht. Diese Resonanz 3. Grades ist die, die uns interessiert, denn sie ist für Tonleitern und Akkorde wirksam, und nicht wie oft angenommen diejenige 2. Grades (siehe den diesbezüglichen Vorbeitrag).

Beispiel Quinte

Eine Saite a' habe die Grundfrequenz 440 Hz und eine Saite e" die Frequenz 660 Hz. Dann schwingt auf der Saite a' der zweite Oberton mit 3 x 440 = 1320 Hz und auf der Saite e" der erste Oberton mit der Frequenz 2 x 660 = 1320 Hz. Dieser Ton ist der gemeinsame Oberton.
Die Saite a' kann nun die Saite e" über diesen gemeinsamen Oberton die Saite anregen. Das Verhältnis der beiden Grundfrequenzen ist entsprechend 3/2.

These: ganze Zahlen

Damit Resonanz entsteht, müssen die Frequenzen im Verhältnis eines Bruchs mit ganzen Zahlen sein.

Warum ganze Zahlen?

Im Schwingungsmedium (Saite, Basilarmembran, etc.) entstehen bei einer Schwingung stehende Wellen. Diese sind dadurch charakterisiert, dass die Saite an ihren beiden Enden nicht schwingt, sondern nur in der Mitte, mit einem oder mehreren Bäuchen. Die Zahl der Schwingungsbäuche in der Mitte muss eine ganze Zahl sein, da sonst die stehende Welle an den beiden Enden nicht auf der Nulllinie wäre.

Tonleitertöne bewerten anhand der Resonanzen

Oktaven und Quinten lassen sich, wie wir hören können, sehr leicht in Resonanz bringen (Quintenexperiment) und zeichnen sich durch sehr einfache Resonanzverhältnisse (f2/f1) aus, nämlich 2/1 für die Oktave und 3/2 für die Quinte. Mit ganz wenigen mathematischen Bedingungen lassen sich nun weitere Tonleitertöne finden:

Kriterien für die Töne einer Tonleiter

Es wird jeweils das Intervall des Tons zum Grundton der Tonleiter angesehen.

1. Das Intervall muss innerhalb einer Oktave liegen: Das heisst, der Bruch der beiden Frequenzen (Tonleiterton zu Grundton) muss ≥ 1 und  ≤ 2 sein.
2. Das Intervall muss resonanzfähig sein: Nenner und Zähler des Bruchs müssen ganze Zahlen sein.
3. Die Resonanz soll möglichst kräftig sein: Der Nenner des Bruchs soll möglichst klein sein.

Die beiden letzten Kriterien sind entscheidend, aber etwas erklärungsbedürftig und ich werde gerne die Gründe dafür veranschaulichen. Im Moment aber nehme ich alle drei mathematischen Kriterien als gegeben an und schaue, ob wir damit weitere bekannte Intervalle finden können.

Generierung eines Pools möglicher Tonleitertöne mit Hilfe dieser drei Kriterien

Wir gehen von den Nennern aus und starten dabei mit den Nennern 1 und 2. Bereits enthalten in unserer Tonleiter sind:

Alle übrigen Töne mit Nenner 1 oder 2 liegen ausserhalb unseres Oktavbereichs (1-2). Wir schauen deshalb, ob sich mit dem Nenner 3 weitere bekannte Intervalle ergeben:

Nenner 3

Alle weiteren Brüche mit Nenner 3 liegen ausserhalb unseres Oktavbereichs. Wir fahren deshalb mit dem Nenner 4 weiter:

Nenner 5

Alle weiteren Brüche mit Nenner 4 liegen ausserhalb unseres Oktavbereichs. Wir fahren deshalb mit Nenner 5 weiter:

Weitere Brüche mit Nenner 5 liegen ausserhalb unseres Oktavbereichs.

Die Primzahlen 2, 3 und 5

Was hier auffällt ist, dass Brüche mit Zähler 7 bei uns in Europa als Intervalle nicht vorkommen. Meine These ist, dass das damit zu tun hat, dass sieben eine «zu hohe» Primzahl ist.

Die Primzahlzerlegen ist für unsere Überlegungen entscheidend. Das kann erklären, weshalb 8/5 und 9/5 für uns gewohnte Intervalle sind, obwohl Nenner und Zähler bei diesen Brüchen höher ist als bei 7/5. Acht ist 2x2x2 und Neun ist 3×3. Dadurch ergeben sich Kürzungsmöglichkeiten in den Brüchen, sobald mehrere Intervalle miteinander verglichen werden.

Wir werden später sehen, dass wir zur genau das tun werden. Zwei Intervalle vergleichen bedeutet in der Frequenzanalyse, dass der Bruch des einen Intervalls durch den Bruch des anderen geteilt wird. Dabei ist es vorteilhaft, wenn gekürzt werden kann. Bei einer Primzahl besteht diese Möglichkeit nicht, bei Zahlen wie 8 oder 9 ist das Kürzen aber oft möglich, insbesondere wenn wir mit Quinten und Quarten das 2 und das 3 im Nenner haben. Beispiele werden folgen.

Für unsere Generierung resonanter Tonleitertöne folgt aber, dass wir auf 7/4 und 7/5 verzichten – weil die 7 im Zähler eine zu hohe Primzahl ist.

Nenner 6

Hier können wir die Tatsache verwenden, dass 6 keine Primzahl ist, und sich als 2×3 mit ganz tiefen Primzahlen darstellen zerlegen lässt.

Unsere Analyse zeigt folgenden Möglichkeiten für den Nenner 6. Wir schauen dabei, welche Brüche mit Nenner 6 ein Verhältnis ergeben, dass zwischen 1 und 2 – d.h. innerhalb einer Oktave – liegt:

Der Nenner 6 bringt also überhaupt keine neuen Töne.

Nenner 8

Nenner 7 lassen wir als hohe Primzahl weg und gehen gleich zu Nenner 8.
8 ist keine Primzahl und lässt sich als 2 x 2 x 2 zerlegen. 8 enthält also die Zahlen 2 und 4, was sich für Kürzungen als sehr vorteilhaft erweist. Obwohl die Nenner und auch die Zähler in den mit Zähler 8 möglichen neuen Intervallen gross werden und die Intervalle beiden neuen Intervalle an sich eher weniger resonant klingen, empfinden wir sie im Verbund mit weiteren Tönen (Akkorde, Melodien) milder. Das hat mit den Kürzungsmöglichkeiten zu tun, also mit der Tatsache, dass 8 keine Primzahl ist.

Mit Nenner 8 gibt es zwei neue Intervalle, die grosse Sekunde (9/8) und die grosse Sept (15/8). Zwar sind bei beiden die Zähler und Nenner recht hoch, doch die Zähler und Nenner lassen sich durch 2, 3 oder 5 teilen. Dadurch werden die Brüche der Intervalle im Verbund von Tonleitern und Akkorden kürzbar, Zähler und Nenner werden kleiner und die Intervalle erweisen sich als resonant.

Damit beenden wir die Tonsuche und stellen unsere Funde in aufsteigender Frequenz zusammen:

Pool der resonanzmässig vorteilhaften Intervalle

Bei unserem Pool fällt folgendes auf:

a) Die meisten bei uns verwendeten Intervalle haben ganz einfache Frequenzverhältnisse.

b) Die Quart ist mit tiefem Nenner und Zähler der «viert-logischste» Tonleiterton. Dieser Ton ist aber nie ein Oberton. Trotzdem macht er Sinn und zwar sowohl in der mathematischen Welt (einfacher Bruch), wie in der physikalischen Welt (einfache Resonanzverhältnisse) wie auch mental (subjektives, musikalisches Hörerlebnis).

c) Kleine Sekunde und Tritonus fehlen in unserem Pool. Diese Töne sind mathematisch keine problemlosen Brüche und klingen entsprechend schärfer. Das ist musikalisch natürlich interessant, doch das Ideal einer problemlosen Resonanz wird mit diesen Intervallen verfehlt. Wir werden später sehen, wie der Tritonus sich unter gewissen Bedingungen trotzdem gut in Resonanzen einfügen lässt, die kleine Sekunde hingegen klingt immer scharf und wird dadurch der eigentliche Leitton in der europäischen Musik.

Doch vorerst belassen wir es bei unserem Pool von zehn Tönen. Das reicht für viele, insbesondere für die global am häufigsten verwendeten Tonleitern. Wir haben gesehen, dass das mathematische Kriterium eines Bruchs mit kleinen ganzen Zahlen ausreicht, diesen Pool von resonanten Tonleitertönen rein rechnerisch zu generieren und ihn auf nur 10 Töne zu beschränken. Alle diese rein mathematisch definierten Tonleitertöne sind für unsere Ohren (mentale Welt) keine Unbekannten.  Das mathematische Kriterium läuft perfekt parallel zu dem, was wir hören.

Weitere Zwischengedanken

Mathematiker mögen bekanntlich Primzahlen. Primzahlen sind etwas ganz besonderes. In dieser Hinsicht können wir das oben genannte 3. Kriterium (möglichst tiefe Zahlen für Zähler und Nenner) präzisieren:

3. Kriterium präzisiert:

Das dritte Kriterium für resonante Intervalle fordert kleine Zahlen in Zähler und Nenner. Wir können es jetzt noch präzisieren:

Damit das Intervall im Verbund mit anderen Intervallen stark resonant wirkt, sollen Zähler und Nenner das Intervalls bei der Primzahlzerlegung möglichst kleine Primzahlen ergeben:

2 ist besser als 3
3 ist besser als 5
5 ist besser als 7
7 ist in der Praxis schon zu gross

Tonintervalle und Rhythmen

Bemerkenswerterweise spielen die Relationsverhältnisse (=Brüche) nicht nur bei den Tonintervallen eine Rolle, sondern auch beim Rhythmus. Wie Töne haben auch Rhythmen einen Puls, und auch hier überlagern sich die Pulse, so wie die Pulse der einzelnen Schallwellen sich überlagern und zueinander in Resonanz treten.

Der Unterschied besteht in der Frequenz. Schallwellen schwingen so schnell, dass wir die einzelnen Impulse (Wellenbäuche, bzw. Knoten) nicht voneinander unterscheiden können. Der rhythmische Puls in der Musik ist hingegen so langsam, sodass wir die einzelnen Schläge voneinander unterscheiden können. Das betrifft aber nicht die Mathematik (ideale Welt), wo genau die gleichen Bruchverhältnisse für Rhythmen und Klänge gelten, sondern unsere Wahrnehmung (mentale Welt), in der wir die Impulse der Töne nicht zählen können, die einzelnen rhythmischen Klicks aber schon. Das ist der Grund, weshalb bei den Rhythmen tiefere Zähler und Nenner in den Brüchen vorkommen, als bei den Tonintervallen. Wir haben Mühe, etwa bei 7-er oder 11-er Rhythmen mitzufühlen (mitzuklatschen), bei 5-er ist bei den meisten Menschen schon die Grenze. Zähler und Nenner mit 5 sind hingegen bei den Intervallen leicht zu erkennen, etwa als grosse Terz (5/4) oder kleine Terz (6/5). Hingegen hört es auch hier bald mit dem menschlichen Erkennen auf (mentale Welt), und die Primzahl 7 kommt in unseren Intervallen eigentlich nicht vor.

Das ist anders als bei Rhythmen, wo ebenfalls Bruchverhältnisse ebenfalls eine Rolle spielen. Weshalb das dort anders ist, und weshalb Rhythmen mit 7 oder 11 Schlägen gut klingen, lässt sich in der 3-Welten-Theorie plausibel erklären. Mehr dazu später.

Vom Pool zu den Tonleitern

Wir suchen nun nach weiteren Kriterien für attraktive Tonleitern. Der gefundene Pool ist ja noch keine Tonleiter, sondern nur unsere Ausgangslage, um daraus die Töne für verschiedene Tonleitern zusammen zu stellen. Dabei gelten weitere Kriterien, die damit zu tun haben, dass mehr als zwei Töne miteinander vorkommen.

Weitere Kriterien

4. Kriterium: Die Tonleitertöne sollen bevorzugt auch untereinander Resonanzen eingehen können

5. Kriterium: Die Tonleiter hat einen Grundton (eine sogenannte Tonalität), die in der Tonleiter eine ganz besondere Funktion hat.

6. Kriterium: Die Tonleitertöne dürfen nicht zu nahe beieinander sein, sonst können wir sie als Menschen nicht mehr unterscheiden. Dies ist ein praktischer Constraint aus der mentalen Welt. In einer rein mathematischen Welt wären beliebige Differenzierungen denkbar, in der Realsituation ist das nicht der Fall.

Mehr zu den Kriterien für Tonleitern im Folgebeitrag.

Dies ist ein Beitrag zur Entstehung der Tonleitern.