Resonanzen erklären unsere Tonleitern

Haben Sie sich schon gefragt, weshalb die Tonleitern in allen Musikkulturen, ob im Urwald, im Konzertsaal oder im Fussballstadion über genau eine Oktave gehen. Oder weshalb Kinder ohne Musikbildung den Dur-Dreiklang ganz spontan «schön» finden, überall auf der Welt?

Die Erklärung liegt in den Resonanzen. So sehr sich Musikkulturen unterscheiden, haben sie doch einen gemeinsamen Kern. Dieser besteht aus den Resonanzen, welche zwischen den Tönen der Tonleitern und Akkorden entstehen.

Resonanz zwischen zwei schwingenden Saiten

Mathematik und Physik in der Musik

Die klassische Musiktheorie weiss zwar, dass mathematische Brüche in den Intervallen stecken, doch sie erklärt nicht, wie die Brüche zustande kommen und was sie mit unserer Musikwahrnehmung zu tun haben.
Die Brüche stellen die Mathematik dar, doch hinter der Mathematik stecken physikalische Gründe. Schallwellen können sich bekanntlich gegenseitig verstärken oder stören. Diese physikalischen Verträglichkeiten lassen sich berechnen, wenn man die Tonhöhen der beteiligten Töne vergleicht. Eine einfache Regel erklärt, wie leicht die Mischung in Resonanz kommt, und was geschieht, wenn drei und mehr Töne beteiligt sind. Auf diese Weise lassen sich viele Eigenheiten der verschiedenen Tonleitern und Akkorde erklären.

Ich lade Sie ein, den folgenden Fragen nachzugehen:

• Weshalb gehen weltweit alle Tonleitern über eine Oktave?
• Weshalb sind auch reine Quinten und Quarten in praktisch allen Tonleitern vorhanden?
• Weshalb ist die Obertonreihe keine Tonleiter?
• Was ist die resonanteste Tonleiter und weshalb kommt sie in allen Kulturen vor? (Spoiler: es ist nicht die gewohnte Dur-Tonleiter, aber fast)
• Wie mischen sich drei und mehr Töne?
• Was sind die zehn resonantesten Intervalle innerhalb einer Oktave?
• Weshalb bilden diese zehn resonantesten Töne als zusammen keine sinnvolle Tonleiter?
• Was sind im Gegensatz dazu sinnvolle Tonleitern?
• Was hält die Töne der Dur-Tonleiter zusammen, was die Töne von Moll?
• Weshalb ist der Dur-Dreiklang so konsonant?
• Was ist der Leitton physikalisch? Was ist der Tritonus?
• Wie entstand die Einteilung der Oktave in 12 Töne?
• Wie funktionieren komplexe Akkorde, z.B. sogenannte Upper Structures?

Alle diese Fragen lassen sich mit der Physik der Schallwellen beantworten.

Intervalle, Frequenzen und Brüche

Wie kommt nun der Zusammenhang zwischen Mathematik und Physik in der Harmonielehre zustande? Dazu schauen wir das wichtigste physikalische Charakteristikum eines Tons an, nämlich seine Frequenz, die seine Tonhöhe bestimmt. Als nächstes schauen wir an, wie zwei Töne mit ihren Frequenzen ein Intervall bilden, das mit einem Bruch definiert werden kann.

Schallwellen und Frequenzen

Ein Ton ist physikalisch eine Schallwelle. Eine Schallwelle ist eine Schwingung in der Luft oder in einem Gegenstand (Saiten), deren wichtigste Eigenschaft ihre Frequenz, d.h. die Zahl der Schwingungen pro Sekunden ist. So hat der Kammerton a‘ die Frequenz 440 Hz, der Kammerton schwingt also 440-mal pro Sekunde hin und her – auf der Saite, in der Luft, oder im Innenohr.

Eine schwingende Saite bildet in der Mitte einen ‚Bauch‘

Intervalle und Brüche

Wenn zwei Töne gleichzeitig erklingen, stehen sie in einem Intervall zueinander. Sie mischen sie sich, je nachdem ihre Frequenzen zueinanderstehen, in einer ruhigeren oder angespannteren Weise. Das ist ein Effekt, den wir beim Hören wahrnehmen. Die Intervalle lassen sich aus dem Verhältnis der beiden Frequenzen bestimmen. Dieses Verhältnis ist mathematisch immer ein Bruch f₁ / f₂, d.h. die Frequenz des höheren Tones wird durch die Frequenz des tieferen geteilt.

Die Brüche Intervalle lassen sich einfach berechnen

1. Wenn beide Töne gleich sind, dann ist f1 = f2 und der Bruch somit f₂ / f₂ = 1.
2. Wenn die Frequenz f1 doppelt so schnell ist wie f2, dann ist:
   f₁ = 2*f₂ und der Bruch 2*f₂ / f₂ = 2.
   
   Beispiel:
   a»: f1 = 880 Hz
   a‘: f2 = 440 Hz
   Intervall a»/a‘ = 880 / 440 = 2 = OktaveWann immer wir zwei Töne im Abstand von einer Oktave hören, stehen ihre Frequenzen im Verhältnis von 2:1, das bedeutet, dass das Intervall mit der Zahl 2 fest verbunden werden kann, ganz unabhängig von den Frequenzen, solange sie im Verhältnis 2:1 stehen, klingt eine Oktabve.
3. Wenn die Frequenz f1 kein genaues Vielfaches von f2 ist, dann ergibt das Intervall keine ganze Zahl mehr, sondern einen echten Bruch:
   Beispiel:
   e»: f1 = 660 Hz
   a‘: f2 = 440 Hz
   Intervall e»/a‘ = 660 / 440 = 3/2  = Quinte

Mit diesem Wissen können wir unsere Tonleitern und Akkorde einfach und stimmig erklären. Und falls die Rechnerei oben Sie abgeschreckt hat, weil Sie schliesslich Musiker sind und kein Mathematiker oder Buchhalter, kann ich Sie beruhigen: Mehr Mathematik als eben wird gar nicht nötig sein. Es handelt sich um einfaches Bruchrechnen mit sehr kleinen Zahlen, wie Sie es in der Grundschule gelernt haben.

Drei Grade von Resonanz

Die Resonanzen haben nun sehr viel mit diesen Intervallen und den sie charakterisierenden Brüchen zu tun.

Die drei Rechenbeispiele für Intervalle oben charakterisieren bereits die drei grundsätzlichen physikalischen Grade von Resonanz:

1. Resonanz 1. Grades: Beide Frequenzen sind gleich
2. Resonanz 2. Grades: Die höhere Frequenz schwingt mit einem ganzzahligen Vielfachen der tieferen.
3. Resonanz 3. Grades: Die höhere Frequenz schwingt mit einm gebrochenen Vielfachen der tieferen.

Die Unterscheidung der drei Grade ist essentiell

Die oben dargestellte Unterscheidung der drei Grade der Resonanz bringt uns bei unserem Zeil der Erklärung der unterschiedlichen Tonleitern weiter:

1. Resonanzen 1. Grades sind banal – alle kennen sie – sie sind auch die stärksten Resonanzen. Die mathematisch berechenbare und physikalisch begründbare Stärke der Resonanz wird uns bei den weiteren Überlegungen auch der anderen Grade begleiten. Die relative Stärke lässt sich mathematisch berechnen, mehr dazu gleich.
2. Resonanzen 2. Grades: Wenn der höhere Ton mit einem geradzahligen Vielfachen des tieferen schwingt, handelt es sich um einen Oberton. Zumischungen von Obertönen f₁ = nx f₂ zu einem Grundton f₂ ergeben sich in der Regel bei allen schwingenden Objekten auf natürliche Weise. Die Rechenregel f₁ = n x f₂ für Obertöne kann physikalisch begründet werden. Es läuft darauf hinaus, dass umso mehr Kraft nötig ist, die Resonanz zu erzeugen, je mehr Schwingunge (Bäuche) der Oberton braucht, bis er phasengleich mit einem Bauch der Grundschwingung ist. In der Abbildung unten sehen Sie unten den Grundton mit einem Bauch, und darüber den ersten Oberton mit zwei und den zweiten Obrton mit drei Bäuchen.
   .
   

   Grundschwingung und 1. und 2. Oberton

   Die konventionelle Harmonielehre basiert auf diesen Obertönen, doch dabei gibt es ein Problem: Je höher der Oberton, umso schwächer wird naturgemäss die Resonanz. Die höheren Obertöne wären aber nötig, um Tonleitern mit der Obertonreihe zu begründen. Die konventionelle Erklärung der Tonleitern versagt hier.

   -> Die Obertonreihe ist keine Tonleiter

3. Resonanz 3. Grades:
   Eher unbekannt ist, dass auch ein ‚gebrochenes‘ Intervall sehr resonant sein kann, und in vielen und entscheidenden Fällen sogar stärker resonant ist als ein Oberton. Auch die Resonanz der ‚gebrochenen‘ Intervalle ist physikalisch einfach erklärbar. Es lässt auch in der Praxis sehr gut beobachten, wie gebrochene Intervalle perfekt resonant sind, auch wenn sie keine Obertöne sind.
   → Quintenexperiment (Youtube).
   Es ist diese Resonanz 3. Grades, die verantwortlich ist für unsere Tonleitern und Akkorde. Sie erklärt, welche Intervalle besonders resonant sind, wie mehrere Töne sich mischen und wie die von uns wahrnehmbare Charakteristika der Tonleitern und Akkorde entstehen. Mehr dazu in den folgenden Beiträgen.

Mehr zum Thema Tonleitern.

Mehr zum Thema Resonanz.